photonic derivations

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.23.8%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sp%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib%0A%20%20%20%20matplotlib.use(%22Agg%22)%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20sp%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Photonic%20Integrated%20Circuit%20Derivations%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20derives%20the%20**transfer%20functions**%20for%20two%20fundamental%0A%20%20%20%20photonic%20building%20blocks%20from%20first%20principles%20using%20SymPy%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20**Ring%20Resonator**%20--%20all-pass%20and%20add-drop%20configurations%0A%20%20%20%202.%20**Mach-Zehnder%20Interferometer%20(MZI)**%0A%0A%20%20%20%20We%20show%20how%20coupling%20coefficients%2C%20waveguide%20loss%2C%20and%20round-trip%20phase%0A%20%20%20%20affect%20the%20transmission%20spectrum%2C%20and%20provide%20interactive%20sliders%20for%0A%20%20%20%20parameter%20exploration.%0A%0A%20%20%20%20---%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Ring%20Resonator%20--%20All-Pass%20Configuration%0A%0A%20%20%20%20A%20single-bus%20(all-pass)%20ring%20resonator%20consists%20of%20a%20straight%20bus%0A%20%20%20%20waveguide%20evanescently%20coupled%20to%20a%20ring%20of%20circumference%20%24L%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Coupling%20model%0A%0A%20%20%20%20At%20the%20coupling%20region%2C%20the%20fields%20are%20related%20by%20a%20unitary%20matrix%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20E_%7B%5Ctext%7Bthrough%7D%7D%20%5C%5C%20E_%7B%5Ctext%7Bring%7D%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20t%20%26%20i%5Ckappa%20%5C%5C%20i%5Ckappa%20%26%20t%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20E_%7B%5Ctext%7Bin%7D%7D%20%5C%5C%20E_%7B%5Ctext%7Bfeedback%7D%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%3A%0A%20%20%20%20-%20%24t%24%20is%20the%20self-coupling%20coefficient%20(real%2C%20%240%20%3C%20t%20%3C%201%24)%0A%20%20%20%20-%20%24%5Ckappa%24%20is%20the%20cross-coupling%20coefficient%20with%20%24t%5E2%20%2B%20%5Ckappa%5E2%20%3D%201%24%0A%20%20%20%20-%20The%20round-trip%20field%20is%20%24E_%7B%5Ctext%7Bfeedback%7D%7D%20%3D%20a%20%5C%2C%20e%5E%7Bi%5Cphi%7D%20%5C%2C%20E_%7B%5Ctext%7Bring%7D%7D%24%0A%20%20%20%20-%20%24a%24%20is%20the%20round-trip%20amplitude%20transmission%20(%24a%20%3D%20e%5E%7B-%5Calpha%20L%20%2F%202%7D%24)%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cphi%24%20is%20the%20round-trip%20phase%20(%24%5Cphi%20%3D%20%5Cbeta%20L%20%3D%202%5Cpi%20n_%7B%5Ctext%7Beff%7D%7D%20L%20%2F%20%5Clambda%24)%0A%0A%20%20%20%20At%20resonance%2C%20%24%5Cphi%20%3D%202%5Cpi%20m%24%20for%20integer%20%24m%24%2C%20and%20the%20transmission%0A%20%20%20%20through%20the%20bus%20waveguide%20reaches%20a%20**minimum**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Define%20symbolic%20variables%0A%20%20%20%20t_sym%2C%20a_sym%2C%20phi_sym%20%3D%20sp.symbols(%22t%20a%20phi%22%2C%20real%3DTrue%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20kappa_sym%20%3D%20sp.symbols(%22kappa%22%2C%20real%3DTrue%2C%20positive%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20All-pass%20ring%20resonator%3A%20solve%20the%20self-consistency%20equation%0A%20%20%20%20%23%20E_through%20%3D%20t%20*%20E_in%20%2B%20i*kappa%20*%20E_feedback%0A%20%20%20%20%23%20E_ring%20%3D%20i*kappa%20*%20E_in%20%2B%20t%20*%20E_feedback%0A%20%20%20%20%23%20E_feedback%20%3D%20a%20*%20exp(i*phi)%20*%20E_ring%0A%20%20%20%20%23%0A%20%20%20%20%23%20Solving%3A%20E_through%20%2F%20E_in%20%3D%20(t%20-%20a%20*%20exp(i*phi))%20%2F%20(1%20-%20t*a*exp(i*phi))%0A%0A%20%20%20%20E_ratio%20%3D%20(t_sym%20-%20a_sym%20*%20sp.exp(sp.I%20*%20phi_sym))%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20-%20t_sym%20*%20a_sym%20*%20sp.exp(sp.I%20*%20phi_sym)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Power%20transmission%20%7CE_through%2FE_in%7C%5E2%0A%20%20%20%20T_allpass_complex%20%3D%20E_ratio%20*%20sp.conjugate(E_ratio)%0A%20%20%20%20T_allpass_simplified%20%3D%20sp.simplify(sp.expand(T_allpass_complex))%0A%0A%20%20%20%20%23%20The%20analytical%20closed%20form%20is%3A%0A%20%20%20%20%23%20T%20%3D%20(a%5E2%20-%202*a*t*cos(phi)%20%2B%20t%5E2)%20%2F%20(1%20-%202*a*t*cos(phi)%20%2B%20a%5E2*t%5E2)%0A%20%20%20%20T_allpass_formula%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20a_sym**2%20-%202%20*%20a_sym%20*%20t_sym%20*%20sp.cos(phi_sym)%20%2B%20t_sym**2%0A%20%20%20%20)%20%2F%20(1%20-%202%20*%20a_sym%20*%20t_sym%20*%20sp.cos(phi_sym)%20%2B%20(a_sym%20*%20t_sym)%20**%202)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Symbolic%20Derivation%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20transfer%20function%20of%20the%20all-pass%20ring%20resonator%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7BE_%7B%5Ctext%7Bthrough%7D%7D%7D%7BE_%7B%5Ctext%7Bin%7D%7D%7D%20%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7Bt%20-%20a%20%5C%2C%20e%5E%7Bi%5Cphi%7D%7D%7B1%20-%20t%20%5C%2C%20a%20%5C%2C%20e%5E%7Bi%5Cphi%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20power%20transmission%20is%20%24T%20%3D%20%7CE_%7B%5Ctext%7Bthrough%7D%7D%20%2F%20E_%7B%5Ctext%7Bin%7D%7D%7C%5E2%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20T_%7B%5Ctext%7Ball-pass%7D%7D%20%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7Ba%5E2%20-%202at%5Ccos%5Cphi%20%2B%20t%5E2%7D%7B1%20-%202at%5Ccos%5Cphi%20%2B%20a%5E2%20t%5E2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Key%20physics%3A**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20At%20**resonance**%20(%24%5Cphi%20%3D%202%5Cpi%20m%24)%3A%20%24%5Ccos%5Cphi%20%3D%201%24%2C%20transmission%20is%20minimized%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20At%20**critical%20coupling**%20(%24a%20%3D%20t%24)%3A%20on-resonance%20transmission%20goes%20to%20**zero**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Lossless%20ring**%20(%24a%20%3D%201%24)%3A%20transmission%20is%20unity%20for%20all%20%24%5Cphi%24%20(all-pass)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20t_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.5%2C%20stop%3D0.99%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.85%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Self-coupling%20t%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20a_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.5%2C%20stop%3D1.0%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.90%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Round-trip%20amplitude%20a%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20neff_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D2.0%2C%20stop%3D4.5%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D2.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Effective%20index%20n_eff%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Interactive%20All-Pass%20Ring%20Transmission%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Adjust%20the%20parameters%20below%20to%20explore%20the%20transmission%20spectrum%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7Bmo.hstack(%5Bt_slider%2C%20a_slider%2C%20neff_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20a_slider%2C%20neff_slider%2C%20t_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(a_slider%2C%20neff_slider%2C%20np%2C%20plt%2C%20t_slider)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Numerical%20evaluation%0A%20%20%20%20_t_val%20%3D%20t_slider.value%0A%20%20%20%20_a_val%20%3D%20a_slider.value%0A%20%20%20%20_neff%20%3D%20neff_slider.value%0A%20%20%20%20_radius%20%3D%2010.0%20%20%23%20um%2C%20fixed%0A%20%20%20%20_L%20%3D%202%20*%20np.pi%20*%20_radius%20%20%23%20ring%20circumference%0A%0A%20%20%20%20_wavelengths%20%3D%20np.linspace(1.5%2C%201.6%2C%202000)%0A%20%20%20%20_phi_vals%20%3D%202%20*%20np.pi%20*%20_neff%20*%20_L%20%2F%20_wavelengths%0A%0A%20%20%20%20%23%20All-pass%20transmission%20formula%0A%20%20%20%20_T_ap%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_a_val**2%20-%202%20*%20_a_val%20*%20_t_val%20*%20np.cos(_phi_vals)%20%2B%20_t_val**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(1%20-%202%20*%20_a_val%20*%20_t_val%20*%20np.cos(_phi_vals)%20%2B%20(_a_val%20*%20_t_val)%20**%202)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_fig_ap%2C%20_ax_ap%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%204))%0A%20%20%20%20_ax_ap.plot(_wavelengths%20*%201e3%2C%2010%20*%20np.log10(np.clip(_T_ap%2C%201e-10%2C%20None))%2C%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax_ap.set_xlabel(%22Wavelength%20(nm)%22)%0A%20%20%20%20_ax_ap.set_ylabel(%22Transmission%20(dB)%22)%0A%20%20%20%20_ax_ap.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22All-Pass%20Ring%20Resonator%20Transmission%20(t%3D%7B_t_val%3A.2f%7D%2C%20a%3D%7B_a_val%3A.2f%7D%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22n_eff%3D%7B_neff%3A.1f%7D%2C%20R%3D10%20um)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_ap.set_ylim(-30%2C%201)%0A%20%20%20%20_ax_ap.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Mark%20critical%20coupling%20condition%0A%20%20%20%20if%20abs(_a_val%20-%20_t_val)%20%3C%200.02%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax_ap.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Near%20critical%20coupling%20(a%20~%20t)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(1550%2C%20-25)%2C%20fontsize%3D10%2C%20color%3D%22red%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_ap%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Ring%20Resonator%20--%20Add-Drop%20Configuration%0A%0A%20%20%20%20The%20add-drop%20ring%20resonator%20has%20**two**%20bus%20waveguides%20coupled%20to%20the%20ring%2C%0A%20%20%20%20creating%20four%20ports%3A%20input%2C%20through%2C%20drop%2C%20and%20add.%0A%0A%20%20%20%20Each%20coupling%20region%20has%20its%20own%20self-coupling%20coefficient%20%24t_1%24%2C%20%24t_2%24%0A%20%20%20%20and%20cross-coupling%20%24%5Ckappa_1%24%2C%20%24%5Ckappa_2%24%20with%20%24t_i%5E2%20%2B%20%5Ckappa_i%5E2%20%3D%201%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Through-port%20transfer%20function%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20T_%7B%5Ctext%7Bthrough%7D%7D%20%3D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bt_1%5E2%20a%5E2%20-%202%20t_1%20t_2%20a%20%5Ccos%5Cphi%20%2B%20t_2%5E2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B1%20-%202%20t_1%20t_2%20a%20%5Ccos%5Cphi%20%2B%20(t_1%20t_2%20a)%5E2%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Drop-port%20transfer%20function%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20T_%7B%5Ctext%7Bdrop%7D%7D%20%3D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B(1%20-%20t_1%5E2)(1%20-%20t_2%5E2)%20%5C%2C%20a%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B1%20-%202%20t_1%20t_2%20a%20%5Ccos%5Cphi%20%2B%20(t_1%20t_2%20a)%5E2%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Energy%20conservation**%20(lossless%2C%20%24a%3D1%24)%3A%20%24T_%7B%5Ctext%7Bthrough%7D%7D%20%2B%20T_%7B%5Ctext%7Bdrop%7D%7D%20%3D%201%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20t1_sym%2C%20t2_sym%2C%20a_ad%2C%20phi_ad%20%3D%20sp.symbols(%22t_1%20t_2%20a%20phi%22%2C%20real%3DTrue%2C%20positive%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Through-port%20power%20transmission%0A%20%20%20%20T_through_sym%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t1_sym**2%20*%20a_ad**2%20-%202%20*%20t1_sym%20*%20t2_sym%20*%20a_ad%20*%20sp.cos(phi_ad)%20%2B%20t2_sym**2%0A%20%20%20%20)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20-%202%20*%20t1_sym%20*%20t2_sym%20*%20a_ad%20*%20sp.cos(phi_ad)%20%2B%20(t1_sym%20*%20t2_sym%20*%20a_ad)%20**%202%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Drop-port%20power%20transmission%0A%20%20%20%20k1_sq%20%3D%201%20-%20t1_sym**2%0A%20%20%20%20k2_sq%20%3D%201%20-%20t2_sym**2%0A%20%20%20%20T_drop_sym%20%3D%20(k1_sq%20*%20k2_sq%20*%20a_ad)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%20-%202%20*%20t1_sym%20*%20t2_sym%20*%20a_ad%20*%20sp.cos(phi_ad)%20%2B%20(t1_sym%20*%20t2_sym%20*%20a_ad)%20**%202%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Verify%20energy%20conservation%20for%20lossless%20case%20(a%3D1)%0A%20%20%20%20T_total_lossless%20%3D%20sp.simplify(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20T_through_sym.subs(a_ad%2C%201)%20%2B%20T_drop_sym.subs(a_ad%2C%201)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Symbolic%20Verification%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20the%20lossless%20case%20(%24a%20%3D%201%24)%2C%20SymPy%20confirms%20energy%20conservation%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24T_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bthrough%7D%7D%7D%7D%20%2B%20T_%7B%7B%5C%5Ctext%7B%7Bdrop%7D%7D%7D%7D%20%3D%20%7Bsp.latex(T_total_lossless)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(This%20equals%201%2C%20confirming%20the%20derivation%20is%20self-consistent.)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20t1_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.5%2C%20stop%3D0.99%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.85%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Coupling%20t1%20(input)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20t2_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.5%2C%20stop%3D0.99%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.85%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Coupling%20t2%20(drop)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20a_ad_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.5%2C%20stop%3D1.0%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.95%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Round-trip%20amplitude%20a%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Interactive%20Add-Drop%20Spectrum%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7Bmo.hstack(%5Bt1_slider%2C%20t2_slider%2C%20a_ad_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20a_ad_slider%2C%20t1_slider%2C%20t2_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(a_ad_slider%2C%20neff_slider%2C%20np%2C%20plt%2C%20t1_slider%2C%20t2_slider)%3A%0A%20%20%20%20_t1%20%3D%20t1_slider.value%0A%20%20%20%20_t2%20%3D%20t2_slider.value%0A%20%20%20%20_a%20%3D%20a_ad_slider.value%0A%20%20%20%20_neff_ad%20%3D%20neff_slider.value%0A%20%20%20%20_radius_ad%20%3D%2010.0%0A%20%20%20%20_L_ad%20%3D%202%20*%20np.pi%20*%20_radius_ad%0A%0A%20%20%20%20_wl%20%3D%20np.linspace(1.5%2C%201.6%2C%202000)%0A%20%20%20%20_phi%20%3D%202%20*%20np.pi%20*%20_neff_ad%20*%20_L_ad%20%2F%20_wl%0A%0A%20%20%20%20%23%20Through-port%0A%20%20%20%20_denom%20%3D%201%20-%202%20*%20_t1%20*%20_t2%20*%20_a%20*%20np.cos(_phi)%20%2B%20(_t1%20*%20_t2%20*%20_a)%20**%202%0A%20%20%20%20_T_thr%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_t1**2%20*%20_a**2%20-%202%20*%20_t1%20*%20_t2%20*%20_a%20*%20np.cos(_phi)%20%2B%20_t2**2%0A%20%20%20%20)%20%2F%20_denom%0A%0A%20%20%20%20%23%20Drop-port%0A%20%20%20%20_k1_sq%20%3D%201%20-%20_t1**2%0A%20%20%20%20_k2_sq%20%3D%201%20-%20_t2**2%0A%20%20%20%20_T_drp%20%3D%20(_k1_sq%20*%20_k2_sq%20*%20_a)%20%2F%20_denom%0A%0A%20%20%20%20_fig_ad%2C%20_ax_ad%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%204))%0A%20%20%20%20_ax_ad.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_wl%20*%201e3%2C%2010%20*%20np.log10(np.clip(_T_thr%2C%201e-10%2C%20None))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3D%22Through%20port%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_ad.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_wl%20*%201e3%2C%2010%20*%20np.log10(np.clip(_T_drp%2C%201e-10%2C%20None))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22r--%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3D%22Drop%20port%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_ad.set_xlabel(%22Wavelength%20(nm)%22)%0A%20%20%20%20_ax_ad.set_ylabel(%22Transmission%20(dB)%22)%0A%20%20%20%20_ax_ad.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Add-Drop%20Ring%20Resonator%20(t1%3D%7B_t1%3A.2f%7D%2C%20t2%3D%7B_t2%3A.2f%7D%2C%20a%3D%7B_a%3A.2f%7D)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_ad.set_ylim(-30%2C%201)%0A%20%20%20%20_ax_ad.legend()%0A%20%20%20%20_ax_ad.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_ad%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Mach-Zehnder%20Interferometer%20(MZI)%0A%0A%20%20%20%20An%20MZI%20splits%20light%20into%20two%20arms%20with%20a%20phase%20difference%0A%20%20%20%20%24%5CDelta%5Cphi%24%20between%20them%2C%20then%20recombines%20at%20a%20second%20coupler.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20General%20MZI%20model%0A%0A%20%20%20%20Each%20directional%20coupler%20has%20coupling%20coefficient%20%24%5Ckappa%24%20and%0A%20%20%20%20self-coupling%20%24t%20%3D%20%5Csqrt%7B1%20-%20%5Ckappa%5E2%7D%24.%20The%20transfer%20matrix%20of%0A%20%20%20%20one%20coupler%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20C%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20t%20%26%20i%5Ckappa%20%5C%5C%20i%5Ckappa%20%26%20t%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20phase%20accumulation%20matrix%20for%20the%20two%20arms%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20P%20%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20e%5E%7Bi%5Cphi_1%7D%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%20e%5E%7Bi%5Cphi_2%7D%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20total%20MZI%20transfer%20matrix%20is%20%24M%20%3D%20C_2%20%5Ccdot%20P%20%5Ccdot%20C_1%24.%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20**balanced%20MZI**%20(%24%5Ckappa_1%20%3D%20%5Ckappa_2%20%3D%201%2F%5Csqrt%7B2%7D%24%2C%20i.e.%2050%2F50%20splitters)%2C%0A%20%20%20%20the%20bar-port%20and%20cross-port%20transmissions%20simplify%20to%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20T_%7B%5Ctext%7Bbar%7D%7D%20%3D%20%5Ccos%5E2%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%5CDelta%5Cphi%7D%7B2%7D%5Cright)%2C%0A%20%20%20%20%5Cquad%0A%20%20%20%20T_%7B%5Ctext%7Bcross%7D%7D%20%3D%20%5Csin%5E2%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%5CDelta%5Cphi%7D%7B2%7D%5Cright)%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5CDelta%5Cphi%20%3D%20%5Cphi_1%20-%20%5Cphi_2%20%3D%202%5Cpi%20n_%7B%5Ctext%7Beff%7D%7D%20%5CDelta%20L%20%2F%20%5Clambda%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20sp)%3A%0A%20%20%20%20delta_phi%2C%20kappa_mzi%2C%20t_mzi%20%3D%20sp.symbols(%22Delta_phi%20kappa%20t%22%2C%20real%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20General%20coupler%20matrix%0A%20%20%20%20C%20%3D%20sp.Matrix(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bt_mzi%2C%20sp.I%20*%20kappa_mzi%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bsp.I%20*%20kappa_mzi%2C%20t_mzi%5D%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Phase%20matrix%0A%20%20%20%20phi1%2C%20phi2%20%3D%20sp.symbols(%22phi_1%20phi_2%22%2C%20real%3DTrue)%0A%20%20%20%20P%20%3D%20sp.Matrix(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bsp.exp(sp.I%20*%20phi1)%2C%200%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0%2C%20sp.exp(sp.I%20*%20phi2)%5D%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Total%20MZI%20transfer%20matrix%20M%20%3D%20C%20*%20P%20*%20C%20(identical%20couplers)%0A%20%20%20%20M%20%3D%20C%20*%20P%20*%20C%0A%0A%20%20%20%20%23%20Bar-port%20transmission%3A%20%7CM%5B0%2C0%5D%7C%5E2%20for%20input%20at%20port%200%0A%20%20%20%20M00%20%3D%20sp.simplify(M%5B0%2C%200%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20For%20balanced%20coupler%3A%20t%20%3D%20kappa%20%3D%201%2Fsqrt(2)%0A%20%20%20%20%23%20Substitute%20and%20simplify%0A%20%20%20%20M00_balanced%20%3D%20M00.subs(%5B(t_mzi%2C%201%20%2F%20sp.sqrt(2))%2C%20(kappa_mzi%2C%201%20%2F%20sp.sqrt(2))%5D)%0A%20%20%20%20T_bar_balanced%20%3D%20sp.simplify(sp.Abs(M00_balanced)%20**%202)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Express%20in%20terms%20of%20delta_phi%20%3D%20phi1%20-%20phi2%0A%20%20%20%20dphi%20%3D%20sp.Symbol(%22dphi%22%2C%20real%3DTrue)%0A%20%20%20%20T_bar_dphi%20%3D%20T_bar_balanced.subs(phi1%2C%20dphi).subs(phi2%2C%200)%0A%20%20%20%20T_bar_final%20%3D%20sp.trigsimp(T_bar_dphi)%0A%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Symbolic%20MZI%20Transfer%20Matrix%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20identical%20couplers%2C%20the%20total%20transfer%20matrix%20element%20%24M_%7B00%7D%24%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24M_%7B00%7D%20%3D%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20sp.latex(M00)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20r%22%22%22%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20a%20**balanced**%2050%2F50%20coupler%20(%24t%20%3D%20%5Ckappa%20%3D%201%2F%5Csqrt%7B2%7D%24)%2C%20the%20bar-port%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transmission%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24T_%7B%5Ctext%7Bbar%7D%7D%20%3D%20%7CM_%7B00%7D%7C%5E2%20%3D%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20sp.latex(T_bar_final)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20r%22%22%22%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20confirms%20the%20well-known%20result%20%24T_%7B%5Ctext%7Bbar%7D%7D%20%3D%20%5Ccos%5E2(%5CDelta%5Cphi%20%2F%202)%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20kappa_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.1%2C%20stop%3D0.9%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Coupler%20coupling%20ratio%20kappa%5E2%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20dL_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1.0%2C%20stop%3D100.0%2C%20step%3D1.0%2C%20value%3D10.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Arm%20length%20difference%20dL%20(um)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20neff_mzi_slider%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D2.0%2C%20stop%3D4.5%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D2.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Effective%20index%20n_eff%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Interactive%20MZI%20Transmission%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7Bmo.hstack(%5Bkappa_slider%2C%20dL_slider%2C%20neff_mzi_slider%5D%2C%20justify%3D%22start%22)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20dL_slider%2C%20kappa_slider%2C%20neff_mzi_slider%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(dL_slider%2C%20kappa_slider%2C%20neff_mzi_slider%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_kappa_sq%20%3D%20kappa_slider.value%0A%20%20%20%20_kappa%20%3D%20np.sqrt(_kappa_sq)%0A%20%20%20%20_t_mzi%20%3D%20np.sqrt(1%20-%20_kappa_sq)%0A%20%20%20%20_dL%20%3D%20dL_slider.value%0A%20%20%20%20_neff_mzi%20%3D%20neff_mzi_slider.value%0A%0A%20%20%20%20_wl_mzi%20%3D%20np.linspace(1.5%2C%201.6%2C%202000)%0A%20%20%20%20_dphi%20%3D%202%20*%20np.pi%20*%20_neff_mzi%20*%20_dL%20%2F%20_wl_mzi%0A%0A%20%20%20%20%23%20General%20MZI%20transfer%20matrix%20approach%20(numerical)%0A%20%20%20%20%23%20Bar%20port%3A%20T%20%3D%20t%5E4%20%2B%20kappa%5E4%20%2B%202*t%5E2*kappa%5E2*cos(dphi)%0A%20%20%20%20_T_bar%20%3D%20_t_mzi**4%20%2B%20_kappa**4%20%2B%202%20*%20_t_mzi**2%20*%20_kappa**2%20*%20np.cos(_dphi)%0A%20%20%20%20_T_cross%20%3D%201%20-%20_T_bar%20%20%23%20energy%20conservation%0A%0A%20%20%20%20_fig_mzi%2C%20_ax_mzi%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(10%2C%204))%0A%20%20%20%20_ax_mzi.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_wl_mzi%20*%201e3%2C%20_T_bar%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22b-%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3D%22Bar%20port%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_mzi.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_wl_mzi%20*%201e3%2C%20_T_cross%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22r--%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%20label%3D%22Cross%20port%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_mzi.set_xlabel(%22Wavelength%20(nm)%22)%0A%20%20%20%20_ax_mzi.set_ylabel(%22Transmission%20(linear)%22)%0A%20%20%20%20_ax_mzi.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22MZI%20Transmission%20Spectrum%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22(kappa%5E2%3D%7B_kappa_sq%3A.2f%7D%2C%20dL%3D%7B_dL%3A.0f%7D%20um%2C%20n_eff%3D%7B_neff_mzi%3A.1f%7D)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax_mzi.set_ylim(-0.05%2C%201.05)%0A%20%20%20%20_ax_mzi.legend()%0A%20%20%20%20_ax_mzi.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20plt.tight_layout()%0A%20%20%20%20_fig_mzi%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Summary%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Device%20%7C%20Configuration%20%7C%20Transfer%20Function%20%7C%0A%20%20%20%20%7C--------%7C--------------%7C-------------------%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Ring%20%7C%20All-pass%20%7C%20%24T%20%3D%20%5Cfrac%7Ba%5E2%20-%202at%5Ccos%5Cphi%20%2B%20t%5E2%7D%7B1%20-%202at%5Ccos%5Cphi%20%2B%20a%5E2%20t%5E2%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Ring%20%7C%20Add-drop%20(through)%20%7C%20%24T%20%3D%20%5Cfrac%7Bt_1%5E2%20a%5E2%20-%202t_1%20t_2%20a%5Ccos%5Cphi%20%2B%20t_2%5E2%7D%7B1%20-%202t_1%20t_2%20a%5Ccos%5Cphi%20%2B%20(t_1%20t_2%20a)%5E2%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Ring%20%7C%20Add-drop%20(drop)%20%7C%20%24T%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Ckappa_1%5E2%20%5Ckappa_2%5E2%20a%7D%7B1%20-%202t_1%20t_2%20a%5Ccos%5Cphi%20%2B%20(t_1%20t_2%20a)%5E2%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20MZI%20%7C%20Balanced%20%7C%20%24T_%7B%5Ctext%7Bbar%7D%7D%20%3D%20%5Ccos%5E2(%5CDelta%5Cphi%2F2)%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20MZI%20%7C%20General%20%7C%20%24T%20%3D%20t%5E4%20%2B%20%5Ckappa%5E4%20%2B%202t%5E2%5Ckappa%5E2%5Ccos(%5CDelta%5Cphi)%24%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Key%20parameters%0A%0A%20%20%20%20-%20**%24t%24**%3A%20self-coupling%20coefficient%20(%24t%5E2%20%2B%20%5Ckappa%5E2%20%3D%201%24)%0A%20%20%20%20-%20**%24a%24**%3A%20round-trip%20amplitude%20(%24a%20%3D%20e%5E%7B-%5Calpha%20L%2F2%7D%24%2C%20where%20%24%5Calpha%24%20is%20the%20loss%20coefficient)%0A%20%20%20%20-%20**%24%5Cphi%24**%3A%20round-trip%20phase%20(%24%5Cphi%20%3D%202%5Cpi%20n_%7B%5Ctext%7Beff%7D%7D%20L%20%2F%20%5Clambda%24)%0A%20%20%20%20-%20**%24%5CDelta%5Cphi%24**%3A%20MZI%20arm%20phase%20difference%20(%24%5CDelta%5Cphi%20%3D%202%5Cpi%20n_%7B%5Ctext%7Beff%7D%7D%20%5CDelta%20L%20%2F%20%5Clambda%24)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20_sp%0A%20%20%20%20%23%20SELF-CHECK%20%E2%80%94%20ring%20resonance%20condition%20m%20%3D%20ng%20L%20%2F%20lambda%20is%20integer-valued%0A%20%20%20%20_R_um%20%3D%2010.0%20%20%23%20SELF-CHECK-PARAM%0A%20%20%20%20_ng%2C%20_lam_um%20%3D%204.2%2C%201.55%0A%20%20%20%20_m%20%3D%20_ng%20*%202*_sp.pi*_R_um%20%2F%20_lam_um%0A%20%20%20%20assert%20150.0%20%3C%20float(_m)%20%3C%20190.0%2C%20f%22resonance-order%20self-check%20failed%3A%20%7Bfloat(_m)%3A.1f%7D%22%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A